Download Cepat Dan Gampang \ Power Point Dan Pdf Materi Asuh Matriks Sma Kelas X Semster 1 Persamaan Matrik Dengan Memakai Sifat Dan Operasi Matrik

1. Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 persamaan matrik  dengan memakai sifat dan operasi matrik

2. mendeskripsikan operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. (KI 3)  Menyajikan model matematika dari suatu• problem kasatmata yang berkitan dengan matriks. (KI 4 )  Mengetahui pengertian dan istilah sempurna pada matrik  Mengetahui elemen sempurna pada matriks  Mengetahui jenis-jenis matriks  Mengetahui kesamaan dua matriks  Mengetahui operasi sempurna pada matriks Mengetahui transpose suatu matriks  Mengetahui Aplikasi Matriks dalam kehidupan sehari-hari / bidang ilmu lain  Dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, dukungan dan perkalian  Sistem Persamaan Linear  Sifat penjumlahan, pengutangan dan perkalian bilangan real  Mengidentifikasi konsep matriks•  Mendeskripsikan matriks•  Menguraikan ciri matriks•  Menyebutkan pengertian baris sempurna pada matriks•  Menyebutkan pengertian kolom sempurna pada• matriks  Menyebutkan pengertian elemen sempurna pada• matriks  Menyebutkan pengertian ordo sempurna pada matriks•  Menyebutkan jenis-jenis matriks•  Mencontohkan jenis matriks•  Menyatakan syarat kesamaan dua matriks•  Mendapatkan transpos matriks•  Menghitung determinan matriks•  Menghitung invers matriks•  Memecahkan problem sederhana yang• berkaitan dengan matriks 

Download gampang dan cepat\ Power Point Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]

Download PDF Bahan Ajar Matriks Sekolah Menengan Atas Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]

3. : PETA KONSEP Matriks Definisi Istilah sempurna pada Matriks Bentuk dan Ciri Matriks Jenis-jenis Matriks Relasi Traspos Matriks Operasi sempurna pada Matriks Matriks Baris Matriks Kolom Matriks Pesegi Matriks Nol Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas / Satuan Matriks Datar Matriks Tegak Matriks Skalar Baris Kolom Elemen Ordo Kesamaan dua Matriks Penjumlahan Pengurangan Perkalian suatu bilangan real terhadap Matriks Perkalian Matriks Aplikasi Determinan MatriksInvers Matriks 

4. Fiksi Nonfiksi Pengetahuan umum Anak-anak 25 9 5 Remaja 40 35 20 Dewasa 30 50 45 Angka-angka yang ada di dalam kotak ialah jumlah orang yang meminjam buku berdasarkan jenis buku yang dipinjam dan usia peminjam, ternyata, bentuk tabel di atas sanggup dibentuk lebih sederhana lagi menjadi 25 9 5 40 35 20 30 50 45 Bentuk ini disebut sebagai matriks, yang terdiri atas sejumlah baris dan kolom. Baris pertama yaitu 25 9 5 ialah banyaknya peminjam dari kalangan anak-anak, angka 25 menunjukkan banyak anak- anak yang meminjam buku fiksi, angka 9 menunjukkan banyaknya bawah umur yang meminjam buku nonfiksi, dan seterusnya. Kolom pertama yaitu 25 40 30 ialah banyaknya buku fiksi yang dipinjam, angka 40 menunjukkan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh remaja, angka 30 menunjukkan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh dewasa, dan seterusnya. Pada bentuk matriks di atas, mempunyai tiga baris dan tiga kolom, dan selanjutnya dinamakan matriks berordo tiga. disertakan bersama memakai matriks, bentuk yang lebih kompleks sanggup ditampilkan menjadi lebih sederhana. Mungkin matriks ialah hal yang gres bagi kalian, tetapi mempelajari matriks tidaklah sulit. Selama kalian teliti dalam perhitungan dan memahami rumus yang diberikan, permasalahan mengenai matriks tentu sanggup kalian atasi. Ada beberapa sifat matriks yang perlu kalian perhatikan. Untuk mengetahuinya, sanggup kalian pelajari sempurna pada penggalan ini. Pernahkah kalian mengamati skema tempat duduk di kelas? Berdasarkan skema tersebut, sempurna pada baris dan kolom berapakah kalian berada? Siapa sajakah yang duduk sempurna pada baris pertama? disertakan bersama memakai matriks, kalian sanggup meringkas penyajian skema tersebut sehingga dengan gampang diketahui letak tempat duduk kalian dan teman-teman kalian. Seorang statistikawan sedang melaksanakan penelitian sempurna pada sebuah perpustakaan yang ada di suatu kota mengenai minat baca anggota perpustakaan bedasarkan usia dan jenis buku. Ia mengelompokkan usia menjadi tiga penggalan yaitu bawah umur (≤12 tahun), remaja (12 tahun< x < 20 tahun) dan cukup umur (>20 tahun), sedangkan jenis buku dikelompokkan menjadi buku fiksi, non fiksi, dan pengetahuan umum. Hasil penelitian yang diperoleh dituliskan dalam tabel sebagai berikut.

5. Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita di hadapkan sempurna pada problem untuk menampilkan data atau informasi dalam bentuk tabel atau daftar. Perhatikan data atau informasi data wisudawan FMIPA UPLI sempurna pada April 2003 sempurna pada tabel1 dan data ketidakhadiran suatu kelas dalam rentang waktu satu semester sempurna pada Tabel 2. Tabel 1 Jurusan Banyak Wisudawan Program Kependidikan Program Non kependidikan Matematika 34 8 Fisika 45 6 Biologi 51 12 Kimia 23 13 Tabel 2 Sakit Ijin Tanpa Keterangan Budi 1 1 3 Carli 3 2 0 Dodi 2 1 1 Sekarang marilah kita amati kembali kelompok-kelompok bilangan yang diperoleh daru Tabel 1 dan Tabel 2.  Kelompok bilangan yang dipeoleh dari Tabel 1 adalah  Kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel 2 adalah Mengenal Bentuk dan Ciri MatriksA. 34 8 45 6 51 12 Susunan bilangan ini berbentuk persegi panjang 1 1 3 3 2 0 2 1 1 Susunan bilangan ini berbentuk persegi 23 13

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 1-6 Mapel Matematika Lengkap 

6. Matriks yakni kelompok bilangan yang diatur berdasarkan hukum baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang atau persegi. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Nama suatu matriks biasanya dilambangkan dengan abjad kapital, menyerupai A, B, C, … dst. Definisi Matriks Apakah kelompok bilangan berikut ialah matriks ? a. 3 2 −3 9 c. 4 8 b. 5 7 1 2 −1 9 d. 4 7 3 6 Ayo Amati 3 9 Menurut definisi matriks maka: a. Kelompok bilangan 3 2 −3 9 ialah matriks, alasannya yakni susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. b. Kelompok bilangan 5 7 1 2 −1 9 ialah matriks, alasannya yakni susunannya berbentuk persegi panjang dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. c. Kelompok bilangan . 4 8 bukan matriks, alasannya yakni susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segitiga. d. Kelompok bilangan 4 7 3 6 bukan matriks, alasannya yakni susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segilima. 3 9

7. Baris dari suatu matriks yakni penggalan susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horizontal dalam matriks. Kolom dari suatu matriks yakni penggalan susunan bilangan yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Sedangkan elemen atau unsur suatu matriks yakni bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu. Elemen dari suatu matriks dinotasikan dengan abjad kecil menyerupai a, b, c, ... dan biasanya diubahsuaikan dengan nama matriksnya. Misalkan sempurna pada matriks A, elemen- elemennya biasanya ditetapkan dengan a. Biasanya elemen-elemen dari suatu matriks diberi tanda indeks, contohnya yang artinya elemen dari matriks A yang terletak sempurna pada baris i dan kolom j. * 2 1 5 −1 7 9 −7 8 4 2 6 4 + Pengertian dan Istilah dalam MatriksB. Pengertian Baris, Kolom, dan Elemen Matriks Contoh dan Penjelasan Baris pertama dengan elemen-elemen 2, 1 dan 5 Baris kedua dengan elemen-elemen -1, 7 dan 9 Baris ketiga dengan elemen-elemen -7, 4 dan 6 Baris keempat dengan elemen-elemen 8, 2 dan 4 Kolom ketiga dengan elemen-elemen 5,9,6 dan 4 Kolom kedua dengan elemen-elemen 1,7,4 dan 2 Kolom pertama dengan elemen-elemen 2, -1, -7 dan 8 Pada tabel berikut ditunjukkan jarak antara dua kota dalam kilometer (km). Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor 0 130 367 428 675 126 130 0 237 317 545 256 367 237 0 115 308 493 428 317 115 0 327 554 675 545 308 327 0 801 126 256 493 554 801 0 a) disertakan bersama menghilangkan judul baris dan judul kolom, tulislah matriks yang diperoleh! b) Berapa banyak baris dan banyak kolom yang Anda peroleh dari soal a)? c) Sebutkan elemen-elemen sempurna pada setiap baris! d) Sebutkan elemen-elemen sempurna pada setiap kolom! Ayo Berlatih

8. Banyak baris dan kolom dari suatu matriks memilih ordo atau ukuran bagi matriks itu. Bilangan 2 3 yang ditulis agak ke bawah di sebut sebagai subscrip atau indeks. Jika diamati lebih lanjut, banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 3 = 6 yaitu ialah hasil kali antara banyak baris dengan banyak kolom dari matriks A. Misalkan matriks A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berordo dan ditulis sebagai . Banyak elemen matriks A yakni ( buah dengan elemen-elemen matriks itu dilambangkan dengan (i dari 1 hingga dengan m dan j dari 1 hingga dengan n). secara umum matriks A sanggup ditulis dengan notasi berikut: ( ) Pengertian Ordo Matriks 𝐴 17 13 15 16 15 1 Berapakah banyak baris dari matriks A? (2) Berapakah banyak kolom dari matriks A? (3) Dalam hal demikian matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 3 dan dituliskan dengan memakai notasi 𝐴 Ayo perhatikan Ordo atau Ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Ordo suatu matriks ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan lingkaran positif dengan bilangan pertama menyatakan benyaknya baris, dan bilangan kedua menyatakan banyaknya kolom. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu. Banyak baris = m Banyak kolom = n

9. Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks yakni sebagai berikut : Matriks baris yakni matriks yang khusus mempunyai satu baris saja. Matriks baris berordo 1 , dengan n yakni jumlah kolom. Contoh dan Penjelasan : (1 −1 5 2 9 3 , matriks A ialah matriks baris yang terdiri atas 6 kolom, mempunyai 6 elemen, serta berordo 1 × 6. (−3 7 −1 , matriks B ialah matriks baris yang terdiri atas 3 kolom, mempunyai 3 elemen, serta berordo 1 × 3. Matriks baris yakni matriks yang khusus mempunyai satu kolom saja. Matriks baris berordo 1, dengan m yakni jumlah baris. Contoh dan Penjelasan : ( 4 −9 1 3 ), matriks C ialah matriks kolom yang terdiri atas 3 baris, mempunyai 3 elemen, serta berordo 3 × 1. ( −2 −5 7 12 0 6 5 ) , matriks D ialah matriks kolom yang terdiri atas 7 baris, mempunyai 7 elemen, serta berordo 7 × 1. Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan nilai m=n, sehingga diperoleh matriks berordo n×n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut juga matriks persegi berordo/ berukuran n. Contoh dan Penjelasan : 1 −1 4 7 , matriks E ialah matriks persegi berordo dua. Jenis MatriksC. 1. Matriks Baris Jumlah elemen sempurna pada matriks baris sama dengan jumlah kolomnya. 2. Matriks Kolom Jumlah elemen sempurna pada matriks kolom sama dengan jumlah barisnya. 3. Matriks Persegi

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 1-6 Mapel PAI Lengkap

10. ( 5 3 6 −7 8 0 3 2 1 1 −4 7 8 11 0 1 ), matriks F ialah matriks persegi berordo empat. ( 1 4 5 7 6 −3 0 3 3 ) Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, bila semua elemennya sama dengan nol, teladan : ( 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga bila elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yang ada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, bila elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.  Matriks segitiga dengan elemen-elemen di bawah diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 2 −1 4 0 7 6 0 0 1 )  Matriks segitiga dengan elemen-elemen di atas diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 1 0 0 0 −3 5 0 0 7 4 9 −2 8 0 10 3 ) 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛𝑛 Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen yang terletak sempurna pada garis hubung elemen 𝑎 dengan elemen 𝑎 𝑛𝑛 dinamakan sebagai diagonal utama (DU), sedangkan elemen- elemen yang terletang sempurna pada garis hubung elemen 𝑎 𝑛 dengan elemen 𝑎 𝑛 dinamakan sebagai diagonal samping (DS). Berikut ini diberikan teladan bagaimana memilih letak elemen-elemen sempurna pada diagonal utama dan letak elemen- elemen sempurna pada diagonal samping dari suatu matriks persegi. Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Elemen-elemen yang terletak sempurna pada diagonal utama yakni 6, -3 dan 5. Sedangkan elemen-elemen yang terletak sempurna pada diagonal samping yakni 5, -3 dan 6. 4. Matriks Nol 5. Matriks Segitiga

11. Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal bila elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contoh dan Penjelasan : ( 1 0 0 0 −3 0 0 0 7 ) , −3 0 0 4 Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas bila semua elemen yang terletak sempurna pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Matriks identitas berordo n dilambangkan dengan . ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 1 0 0 1 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan m<n, ini berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris. Oleh disebapkan kolomnya lebih banyak dibandingkan dengan barisnya, maka susunan elemen-elemennya akan memanjang atau mendatar. Matriks yang berciri demikian disebut dengan matriks datar. 1 −1 5 0 11 7 , ( 4 −5 1 2 7 4 6 −7 5 11 2 3 ) Jika m>n maka banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri demikian disebut sebagai matriks tegak. ( 1 −1 2 3 5 −2 ) ( 7 11 3 −4 −7 8 4 6 ) Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar bila semua elemen-elemen yang terletak sempurna pada diagonal utamanya mempunyai nilai yang sama, ( 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) ( −3 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 −3 0 0 −3 ) 6. Matriks Diagonal 7. Matriks Identitas / Matriks Satuan 8. Matriks Datar 9. Matriks Tegal 10. Matriks Skalar

12. Kesamaan Dua MatriksD. Dua kompleks perumahan ruko di tempat Tangerang mempunyai ukuran yang sama dan bentuk bangunan yang sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan skema dukungan gedung-gedung ruko tersebut. Dari skema di atas sanggup dicermati bahwa Blok Asama dengan Blok B, disebapkan banyak Ruko di Blok Asama dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko di Blok B. Artinya 10 Ruko di Blok Adan Blok B dibagi dalam dua jajaran. Ayo Amati Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A= B), bila dan khusus jika: [i] Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. [ii] Setiap pasangan elemen yang seletak sempurna pada matriks A dan matriks B, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 (untuk semua nilai i dan j)

13. Untuk matriks-matriks berikut ini, tentukan matriks-matriks mana saja yang sama. 1 3 −4 5 3 4 1 −5 1 3 −4 5 Jawab :  Matriks Y dan P berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus Y tidak sama dengan P, ditulis Y≠P.  Matriks Y dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus Y tidak sama dengan Q, ditulis Y=Q.  Matriks P dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Kaprikornus P tidak sama dengan Q, ditulis P≠Q. Misalkan diketahui matriks A dan matriks B sebagai berikut: ( 2 −3 3 2 ) 2 −3 9 14 Jika matriks A dan matriks B, tentukan nilai x dan y. Jawab:  Matriks A berordo 2×2 dan matriks B juga berordo 2×2, sehingga ordo matriks A=ordo matriks B. Ini berarti syarat perlu bagi kesamaan dua matriks sudah terpenuhi.  Syarat cukup bagi kesamaan matriks A dan matriks B yakni yang seletak harus bernilai sama, sehingga diperoleh hubungan:  33 9   12 14  Kaprikornus bila A=B maka nilai x=3 dan nilai y=7. Contoh dan Penjelasan 2 Contoh dan Penjelasan 1 𝑌 1 3 −4 5 𝑄 1 3 −4 5 Elemen seletak Elemen seletak

14. Transpos suatu MatriksE. Dalam mendapat informasi yang berbentuk tabel, kadang kala Anda mendapat dua tabel yang tidak sama namun mempunyai makna yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan teladan berikut. Sebuah forum kursus bahasa absurd mempunyai kegiatan kursus Bahasa Inggris, Bahasa rab, dan Bahasa Mandarin. Pada forum tersebut, jumlah kelas kursus sempurna pada setiap kegiatan di setiap harinya tidak selalu sama. Banyaknya kelas di setiap kegiatan kursus sanggup disajikan dalam dua tabel tidak sama dengan makna sama berikut. Secara lebih sederhana, kedua tabel tersebut sanggup dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut. Misalkan untuk tabel pertama dinamakan matriks Adan tabel kedua matriks B. disertakan bersama demikian, bentuk matriks dari kedua tabel di atas yakni 𝐴 ( 6 4 4 2 4 5 4 3 3 4 5 8 ) dan 𝐵 ( 6 4 3 4 5 4 4 2 4 3 5 8 ) Sekarang, ayo perhatikan setiap elemen sempurna pada kedua matriks tersebut, kemudian bandingkan. Kesimpulan apa yang akan didapat? disertakan bersama membandingkan matriks A dan matriks B tersebut, Anda sanggup mengetahui bahwa elemen-elemen sempurna pada baris pertama matriks A ialah elemen-elemen sempurna pada kolom pertama matriks B. Demikian pula dengan elemen-elemen sempurna pada baris kedua dan ketiga matriks Aialah elemenelemen sempurna pada kolom kedua dan ketiga matriks B. disertakan bersama demikian, matriks B diperoleh dengan cara menuliskan elemen setiap baris sempurna pada matriks A menjadi elemen setiap kolom matriks B. Matriks yang diperoleh dengan cara ini dinamakan sebagai matriks transpos. Ayo Analisis Misalkan A matriks sebarang. Transpos matriks A yakni matriks B yang disusun dengan cara menuliskan elemen setiap baris matriks A menjadi elemen setiap kolom sempurna pada matriks B. Transpos dari matriks A di lambangkan dengan B = 𝐴𝑡 (dibaca: A transpos), B = 𝐴′ (dibaca: A aksen) atau B = 𝐴(dibaca: putaran A) Definisi

15. Berdasarkan definisi transpos matriks, bila Anda mempunyai matriks A yang berordo m × n maka transpos A, yaitu mempunyai ordo n × m. a) Jika (3 5 −1 , maka transpos dari P yakni ′ ( 3 5 −1 ) b) Jika 7 2 −4 −3 , maka transpos dari Q yakni ′ 7 −4 2 −3 c) Jika ( 9 7 −11 5 3 2 ), maka transpos dari R yakni 9 −11 3 7 5 2 d) Jika ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) maka transpos dari S yakni ′ ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) Sebagai akhir dari definisi di atas, bila A yakni matriks simetris maka transpos dari matriks A sama dengan A itu sendiri atau . Transpos dari matriks A berordo m × n yakni sebuah matriks 𝐴𝑡 berordo n × m yang disusun dengan proses sebagai berikut:  Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks 𝐴𝑡 .  Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks 𝐴𝑡 .  Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks 𝐴𝑡 . demikian seterusnya  Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks 𝐴𝑡 . Contoh dan Penjelasan 𝑆 𝑆 𝑡 Perhatikan matriks S. Ternyata transpos dari matriks S sama dengan matriks S itu sendiri. Matriks S yang berciri demikian disebut matriks simetris atau matriks setangkup. Misalkan A yakni matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkap bila dan khusus bila elemen-elemen yang letak dan posisinya simetris terhadap diagonal utama berinilai sama. Ditulis : 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Definisi

16. Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi kekerabatan 𝑃 𝑡 = Q, bila 𝑃 𝑏 − 5 3𝑎 − 𝑐 4 3 6 7 dan 𝑄 ( 2𝑎 − 4 3𝑏 𝑑 + 2𝑎 2𝑐 4 7 ) Ayo Berlatih Operasi sempurna pada MatriksF. Penjumlahan Matriks Di suatu kota terdapat dua toko meubel toko meubel ‘abadi’ dan toko meubel ‘Jaya’ . beberapa jenis meubel yang dijual di toko itu yakni rak piring, almari dan kasur. Berikut ini yakni persediaan meubel yang ada di kedua toko tersebut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 4 5 4 Toko ‘Jaya’ 2 9 3 Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut sempurna pada hari yang sama melaksanakan pembelian meubel-meubel gres yang jumlahnya disajikan sempurna pada tabel berikut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 11 7 8 Toko ‘Jaya’ 18 4 5 Berapa banyakkah pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko setelah dilakukan pembelian tersebut? Untuk menjawab pertanyaan sangat gampang bagi Anda untuk mendapat jawabannya. Langkah yang dilakukan yakni menjumlahkan banyaknya meubel sempurna pada persediaan awal dengan meubel yang dibeli sebagai penambahan persediaan. Tentu saja yang dijumlahkan harus homogen dan sempurna pada toko yang sama, contohnya banyak rak piring yang ada di toko ‘Abadi’ dijumlahkan dengan banyaknya banyak rak piring yang dibeli oleh toko ‘Abadi’ (yang dijumlahkan harus bersesuaian). Kedua tabel tersebut sanggup disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk matriks. Selanjutnya melaksanakan pejumlahan matriks, yaitu yang dijumlahkan yakni elemen-elemen yang seletak. Berikut definisi dari penjumlahan matriks. Jika A dan B yakni dua matriks yang berordo sama maka jumlah dari matriks A dan B(ditulis A+ B) yakni sebuah matriks gres yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi 

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 4 semester 1

17. Kedua tabel sempurna pada uraian tersebut bila diubah ke dalam bentuk matriks dan dijumlahkan yakni sebagai berikut: 4 5 4 2 9 3 11 7 8 18 4 5 + 4 5 4 2 9 3 + 11 7 8 18 4 5 4 + 11 5 + 7 4 + 8 2 + 18 9 + 4 3 + 5 15 12 12 20 13 8 Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks tersebut, diperoleh informasi persediaan meubel di kedua toko tadi yakni menyerupai disajikan sempurna pada tabel berikut: Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 15 12 12 Toko ‘Jaya’ 20 13 8 Misalkan A, B, C dan D yakni matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks : 1. Bersifat komutatif : A + B = B + A 2. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C) 3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks O (matriks nol) yang bersifat A + O = O + A = A 4. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif A yang bersifat A + (-A) = O Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Dari stok terakhir kedua toko meubel tadi, di hari berikutnya beberapa pelanggan tiba untuk membeli sejumlah meubel di masing-masing toko meubel tersebut. disertakan bersama jumlah meubel yang terjual di hari itu yaitu : Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 3 8 2 Toko ‘Jaya’ 4 7 2 Berapa banyakkah sisa pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko setelah dilakukan adanya pembelian di hari tersebut?

18. Sama halnya menyerupai sempurna pada operasi penjumlahan matriks, sempurna pada operasi pengurangan matriks berlaku pula ketentuan kesamaan ordo antara matriks yang bertindak sebagai matriks pengurang dan matriks yang akan dikurangi. Pada perkara tadi, maka diperoleh : Stok awal = 15 12 12 20 13 8 Penjualan = 3 8 2 4 7 2 − 15 12 12 20 13 8 + 3 8 2 4 7 2 15 − 3 12 − 8 12 − 2 20 − 4 13 − 7 8 − 2 12 4 10 16 6 6 Jika A dan B yakni dua matriks yang berordo sama maka pengurangan matriks A oleh matriks B (ditulis A- B) yakni sebuah matriks gres yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi Pada pengurangan matriks berlaku sifat antikomutatif, dimana : 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 Perkalian Suatu Bilangan Real terhadap Matriks Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan ialah penjumlahan berulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut. 2𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑘𝑎 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 Dalam matriks pun berlaku ketentuan menyerupai itu. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan 𝐻 2 −1 0 1 , tentukan 2H dan -2H 2𝐻 𝐻 + 𝐻 2 −1 0 1 + 2 −1 0 1 = 2 + 2 −1 + (−1 0 + 0 1 + 1 = 2 2 2 (−1 2 0 2 1 Jadi, matriks 2H yakni matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2 dengan setiap elemen sempurna pada matriks H. Sebanyak k buah

19. Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA yakni sebuah matriks gres yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian kdengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Definisi −2𝐻 −𝐻 + (−𝐻 −𝐻 − 𝐻 − 2 −1 0 1 − 2 −1 0 1 = −2 1 0 −1 + −2 1 0 −1 = ( −2 + (−2 1 + 1 0 + 0 −1 + (−1 ) = −2 2 −2 (−1 −2 0 −2 1 Jadi, matriks –2H yakni matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks –H dengan matriks -H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian –2 dengan setiap elemen sempurna pada matriks H. Diketahui matriks-matriks berikut 𝐴 3 9 −1 2 𝐵 7 −3 2 1 Tentukan : 1. (2+3)A 4. 2A+3A 2. 3(A+B) 5. 3A+3B 3. 3(2A) 6. 6A Ayo Berlatih Penyelesaian : 1. (2+3)A = 5 3 9 −1 2 = 15 45 −5 10 2. 3(A+B) = 3 ( 3 9 −1 2 + 7 −3 2 1 ) = 3× 10 6 1 3 = 30 18 3 9 3. 3(2A) = 3 ×(2 3 9 −1 2 ) = 3 × 6 18 −2 4 = 18 54 −6 12 4. 2A+3A = 2× 3 9 −1 2 +3× 3 9 −1 2 = 10 18 −2 4 + 15 27 −3 6 = 15 45 −5 10 4. 3A+3B = 3× 3 9 −1 2 + 3 7 −3 2 1 = 9 27 −3 6 + 21 −9 6 3 = 30 18 3 9 5. 6A = 6 3 9 −1 2 = = 18 54 −6 12

20. Penyelesaian dari permasalahan tersebut sanggup diselesaikan dengan memakai aljabar biasa atau memakai matriks. Dalam hal ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan memakai matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.Langkah pertama yakni menuliskan model dari problem tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh:  Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera (ditetapkan oleh matriks P), yaitu 3 2 2 5  Data harga bolpoin dan buku (ditetapkan oleh matriks Q), yaitu 1000 2500 Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan banyak nya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Qmenyatakan harga bolpoin. disertakan bersama demikian, untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki yakni dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000). Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriksPdengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Harga belanjaan yang dibayar Riki yakni penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu (3)(1.000) + (2)(2.500) Misalkan p dan q yakni bilangan real, A dan B yakni matriks-matriks berordo m×n, maka perkalian bilangan real dengan matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. (p+q)A=pA+qA 3. p(qA) = pq(A) 5. (-1)A=-A 2. p(A+B)=pA+pB 4. 1A=A Sifat-sifat Perkalian suatu Bilangan Real terhadap Matriks Perkalian Matriks Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan 5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masingmasing siswa tersebut? Permasalahan tersebut sanggup disajikan dalam bentuk tabel berikut:

 21. = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera? Dari uraian tersebut, sanggup Anda ketahui bahwa untuk mendapat besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut yakni dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut: 3 2 2 5 1000 2500 3 1000 + 2 2500 2 1000 + 5 2500 8000 14500 Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks sanggup dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1. (2 2 (2 1 (2 Secara umum, bila matriks Pberordo m× pdan matriks Q berordo p× n maka matriks hasil kali PQ berordo m× n. Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks Adan Bdapat dikalikan (ditulisAB) bila banyak kolom sempurna pada matriks Asama dengan banyak baris sempurna pada matriks B. Elemen-elemen sempurna pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris sempurna pada matriks Adengan elemen kolom sempurna pada matriks B. Definisi Ordo hasil Sama Diketahui matriks-matriks berikut 𝑃 −1 0 2 1 𝑄 −3 1 5 7 𝑅 2 5 −1 4 −3 0 𝑆 4 1 7 2 Tentukan : 1. PQ 2. QR 3. RP 4. QP 5. P(QS) 6. (PQ)S Ayo Berlatih

22. Pada penggalan sebelumnya, Anda sudah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan materi determinan matriks persegi yang dibahas di materi kali ini dibatasi khusus hingga matriks 3 ×3 Matriks berordo 2 ×2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada penggalan ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 ×2. Misalkan Aadalah matriks persegi ordo 2 ×2 dengan bentuk A= Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda sanggup mendapat nilai determinan dari matriks A, yaitu: Pada penggalan ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 ×3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 ×3 dengan bentuk ( ) Untuk mendapat determinan dari matriks persegi berordo 3 ×3, akan dipakai suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkahlangkah yang harus Anda lakukan untuk mendapat determinan matriks berordo 3 ×3 dengan metode Sarrusadalah sebagai berikut: Determinan MatriksG. Determinan Matriks Persegi Determinan Matriks 2 ×2 Determinan matriks Adi definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen sempurna pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen sempurna pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks Adinotasikan dengan det Aatau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Definisi Determinan Matriks 3 ×3

23. 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen sempurna pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan D11 | | D11= + + 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen sempurna pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan D1 | | D11= + + 4. Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari matriks Aadalah selisihantara D1 dan D11 yaitu D11-D1 det | | = + + − ( + + Invers MatriksH. Ketika di SMP, Anda sudah mempelajari operasi hitung sempurna pada bilangan. Pada ketika mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilah invers (kebalikan) bilangan. Suatu bilangan bila dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalam aljabar matriks pun berlaku ketentuan menyerupai itu. Ketika Anda mengalikan suatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yang dalam hal ini yakni matriks identitas.Sebagai gambaran bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.  Misalkan A=• −3 −1 5 2 dan B −2 −1 5 3 AB= −3 −1 5 2 −2 −1 5 3 = 6 − 5 3 − 3 −10 + 10 −5 + 6 = 1 0 0 1 𝐼2 Perkalian AB menghasilkan 𝐼2 (matriks identitas berordo 2 x 2) −7 2 1 −2
•  24. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks Bmenghasilkan matriks identitas (AB= I ) Ini menunjukkan matriks Bialah matriks invers dari matriks A, yaitu B= A–1 atau sanggup juga dikatakan bahwa matriks Aialah invers dari matriks B, yaitu A= B–1 . Begitu pulauntuk perkalian matriks Pdan matriks Q berlaku hal serupa. Misalkan Adan Badalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB= BA= I2 maka matriks A yakni matriks invers dari matriks B atau matriks B yakni matriks invers dari matriks A. Definisi  Misalkan P=• −7 2 4 1 dan Q 1 −2 4 −7 PQ= −7 2 4 1 1 −2 4 −7 = −7 + 8 14 − 14 −4 + 4 8 − 7 = 1 0 0 1 𝐼2 Perkalian PQ menghasilkan 𝐼2

25. Sesudah Anda memahami defi nisi invers matriks, selanjut nya akan diperlihatkan ketepat pada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut. Misalkan A= dan B= . Jika B=A-1 , bagaimana antara elemen-elemen sempurna pada matriks A dan elemen-elemen sempurna pada matriks B? 1 0 0 1  ( + + + + ) 1 0 0 1 Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh + 1…(1) + 0…(2) + 0…(3) + 1…(4) disertakan bersama menuntaskan sistem persamaan linear (1) dengan (3) dan (2) dengan (4), diperoleh: , , , s ( ) − − − − , dengan ad-bc≠0 Oleh disebapkan ad-bc = det A, maka − − Misalkan A= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 , invers dari A yakni 𝐴 , yaitu 𝐴 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 , dengan det A≠0

26. Pada penggalan sebelumnya sudah dibahas sehubungan penyelesaian sistem persamaan linear dengan memakai metode grafik, metode eliminasi,dan metode substitusi. Pada penggalan ini, kita akan menuntaskan sistem persamaan linear tersebut dengan memakai matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut: + + Sistem persamaan linear tersebut sanggup kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut: Persamaan matriks ini sanggup kita selesaikan dengan memakai sifat berikut: Aplikasi MatriksI. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Misalkan p dan q yakni bilangan real, A dan B yakni matriks-matriks berordo m×n, maka memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. AB ≠ BA Tidak komutatif 2. 2. A(BC) = (AB)C Asosiatif 3. 3. A(B+ C) = AB+ AC Distributif 4. 4. (A+ B)C= AC+ BC Distributif 5. 5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif 6. 6. IA= AI= A Perkalian dengan Identitas 7. (𝐴 + 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡 8. (𝐴𝑡 𝑡 𝐴 9. (𝑘𝐴 𝑡 𝑘𝐴𝑡 , k yakni konstanta 10. (𝐴𝐵 𝑡 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 11. 𝐴 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 Misalkan Adan Badalah matriks sebarang yang mempunyai invers, AB dan BA juga mempunyai invers maka berlaku kekerabatan berikut. 1. (AB)–1 = B–1 • A–1 2. (BA)–1 = A–1 . B–1 Sifat-sifat Matriks

27. 1. Jika AX=B, maka X=A-1 B, dengan |A|≠0 2. Jika XA=B, maka X=B-1 A, dengan |A|≠0 Matriks sanggup di jalankan dalam penentuan persamaan reaksi disebapkan persamaan reaksi ialah penerapan aljabar linier.Persamaan yang dipakai yakni : A v = 0 dengan A ialah matriks dengan kolom mewakili n zat kimia dan m baris yang mewakili m unsur. Sedangkan v ialah matriks stoikiometri yang kolomnya mewakili koefisien-koefisien zat-zat yang bereaksi dan 0 yakni matriks 0 yang menunjukkan bahwa dalam keadaan setimbang jumlah unsure yang bereaksi yakni tetap. Penyelesaian matriks v tersebut memakai invers matriks. Matriks Fock atau lebih dikenal sebagai operator Fock yakni matriks yang dipakai untuk menghitung kesetimbangan energi suatu elektron terhadap intinya. Pada perhitungan kimia kuantum memakai metode Hartree-Fock, perhitungan matriks Fock ialah awal proses kalkulasi numerik berulang. - Setiap pehitungan keseimbangan energi satu elektron akan diwakili oleh satu Matriks Fock. - Dalam matriks Fock, tidak terkandung nilai energi elektron. Persamaan ini khusus mempunyai nilai rata-rata tolakan antar elektron. - Matriks Fock ialah pendekatan dari operator Hamiltonian dan disebut operator Fock disebapkan matriks ini nantinya dipakai dalam perhitungan kimia kuantum untuk orbital atom atau orbital molekul. Persamaan yang sering dipakai yakni persamaan Roothaan dalam metode numerik. Penerapan nilai eigen terdapat dalam kimia kuantum, terutama yang berkenaan dengan struktur atom polielektron, teori orbital molekul, dan teori vibrasi molekul. Nilai eigen suatu matriks sanggup kalian pelajari sempurna pada pembahasan matris selanjutnya. Sebelum itu, kalian tetap harus menguasi konsep dasar matriks yang berada sempurna pada penggalan ini. Menentukan Persamaan Reaksi dengan Matriks Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Determinan matriks sanggup di jalankan untuk memilih energi transisi Penggunaan Matriks Focks dalam Kimia Nilai Eigen dan Penerapannya dalam Kimia.